Corrente Móvel Ponderada Ponderada Média Garch

A abordagem EWMA tem uma característica atraente: requer relativamente poucos dados armazenados. Para atualizar nossa estimativa em qualquer ponto, precisamos apenas de uma estimativa prévia da taxa de variância e do valor de observação mais recente. Um objetivo secundário da EWMA é acompanhar mudanças na volatilidade. Para valores pequenos, observações recentes afetam prontamente a estimativa. Para valores próximos de um, a estimativa muda lentamente com base em mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido pela JP Morgan e disponibilizado ao público) utiliza o EWMA para atualizar a volatilidade diária. IMPORTANTE: A fórmula EWMA não assume um nível de variância médio de longo prazo. Assim, o conceito de volatilidade significa reversão não é capturado pela EWMA. Os modelos ARCHGARCH são mais adequados para esta finalidade. Um objetivo secundário da EWMA é acompanhar mudanças na volatilidade, portanto, para valores pequenos, observação recente afeta prontamente a estimativa e para valores próximos de um, a estimativa muda lentamente para mudanças recentes nos retornos da variável subjacente. O banco de dados RiskMetrics (produzido pela JP Morgan) e disponibilizado ao público em 1994, utiliza o modelo EWMA para atualizar a estimativa diária de volatilidade. A empresa descobriu que, em toda uma gama de variáveis ​​de mercado, este valor fornece a previsão da variância que se aproxima da taxa de variação realizada. As taxas de desvio realizadas num determinado dia foram calculadas como uma média igualmente ponderada dos 25 dias subsequentes. Da mesma forma, para calcular o valor ótimo de lambda para o nosso conjunto de dados, precisamos calcular a volatilidade realizada em cada ponto. Existem vários métodos, então escolha um. Em seguida, calcule a soma de erros quadrados (SSE) entre EWMA estimativa e volatilidade realizada. Finalmente, minimizar o SSE variando o valor lambda. Parece simples É. O maior desafio é concordar com um algoritmo para calcular a volatilidade realizada. Por exemplo, o pessoal da RiskMetrics escolheu os 25 dias subseqüentes para calcular a taxa de variação realizada. No seu caso, você pode escolher um algoritmo que utiliza o Volume Diário, HILO e ou OPEN-CLOSE preços. Q 1: Podemos usar EWMA para estimar (ou prever) a volatilidade mais de um passo à frente A representação da volatilidade EWMA não assume uma volatilidade média de longo prazo e, portanto, para qualquer horizonte de previsão além de um passo, a EWMA retorna uma constante Valor: A Média Móvel Ponderada Exponencialmente (EWMA) é uma estatística para monitorar o processo que mede os dados de uma forma que dá menos e menos peso aos dados à medida que são removidos no tempo. Para a técnica de controle de gráficos Shewhart, a decisão sobre o estado de controle do processo a qualquer momento, (t), depende unicamente da medida mais recente do processo e, é claro, O grau de veracidade das estimativas dos limites de controle a partir de dados históricos. Para a técnica de controle EWMA, a decisão depende da estatística EWMA, que é uma média exponencialmente ponderada de todos os dados anteriores, incluindo a medição mais recente. Através da escolha do factor de ponderação (lambda), o procedimento de controlo EWMA pode ser tornado sensível a uma deriva pequena ou gradual no processo, enquanto que o procedimento de controlo Shewhart só pode reagir quando o último ponto de dados está fora de um limite de controlo. Definição de EWMA A estatística que é calculada é: mbox t lambda Yt (1-lambda) mbox ,,, mbox ,,, t 1,, 2,, ldots ,, n. Onde (mbox 0) é a média dos dados históricos (meta) (Yt) é a observação no tempo (t) (n) é o número de observações a serem monitoradas incluindo (mbox 0) (0 Interpretação do gráfico de controle EWMA O vermelho Pontos são os dados em bruto a linha irregular é a estatística EWMA ao longo do tempo. O gráfico nos diz que o processo está no controle porque todos (mbox t) estão entre os limites de controle. No entanto, parece haver uma tendência para cima para os últimos 5 Comparar e contrastar as abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo: ABORDAGEM GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (condicional) Paramétrico) Os métodos modernos colocam mais peso na informação recente Tanto EWMA quanto GARCH colocam mais peso em informações recentes Além disso, como EWMA é um caso especial de GARCH, ambos EWMA e GARCH empregam o alisamento exponencial GARCH (p, q) e em particular GARCH (1, 1) G ARCH (p, q) é um modelo heteroscedástico condicional geral autorregressivo. Aspectos chaves incluem: Autoregressive (AR). A variância de amanhã (ou volatilidade) é uma função regredida da variância de hoje (8282). Ela regride sobre si mesma Condicional (C). A variância de amanhã depende da variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância Heteroskedastic de hoje (H). As variações não são constantes, elas fluem ao longo do tempo, GARCH regride em 8220lagged8221 ou termos históricos. Os termos defasados ​​são variância ou retornos quadrados. O modelo genérico GARCH (p, q) regressa em (p) retornos ao quadrado e (q) variâncias. Por conseguinte, GARCH (1, 1) 8220lags8221 ou regressa na última variância do período 8217s ao quadrado (isto é, apenas 1 retorno) e do último período 8217s (isto é, apenas 1 variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula de GARCH (1, 1) pode ser dada com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH como: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional como uma função de três variáveis ​​(variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): Persistência é um recurso embutido no modelo GARCH. Dica: Nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alfa-1 beta). Persistência refere-se a quão rapidamente (ou lentamente) a variância reverte ou 8220decays8221 em direção a sua média de longo prazo. A alta persistência equivale a decadência lenta e regressão lenta 8220 para a média 8221 a baixa persistência equivale à rápida decomposição e rápida reversão à média.8221 A persistência de 1,0 não implica nenhuma reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221 onde uma menor persistência implica maior reversão para a média. Dica: Como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância defasada e ao retângulo quadrado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (superior a zero, mas inferior a um) implica uma reversão lenta para a média. Porém, se os pesos atribuídos à variância retardada e retardo ao quadrado forem maiores do que um, o modelo é não-estacionário. Se (bc) for maior que 1 (se bc gt 1) o modelo é não-estacionário e, de acordo com Hull, instável. Neste caso, é preferida a EWMA. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é tanto 8220compact8221 (isto é, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucas têm melhorado no original. A desvantagem do modelo GARCH é sua não-linearidade sic Por exemplo: Resolva para a variância de longo prazo em GARCH (1,1) Considere a equação de GARCH (1, 1) abaixo: Assuma que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E Observe que omega é 0,2, mas don8217t erro omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto de gama ea variância de longo prazo. Portanto, se alfa beta 0,9, então gamma deve ser 0,1. Dado que o ômega é 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Mera diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que GARCH inclui o termo adicional para reversão média e EWMA não tem uma reversão média. Aqui é como podemos obter de GARCH (1,1) para EWMA: Então deixamos um 0 e (bc) 1, de tal forma que a equação acima simplifica a: Isto é agora equivalente à fórmula para exponencialmente ponderada média móvel (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo de um (lambda alto) exibe decadência lenta. O RiskMetricsTM Approach RiskMetrics é uma forma marcada da abordagem de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA): O lambda ótimo (teórico) varia de acordo com a classe de ativos, mas o parâmetro ótimo global utilizado pelo RiskMetrics foi 0,94. Na prática, RiskMetrics usa apenas um fator de decadência para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diário e mensal são inconsistentes. No entanto, eles são fáceis de usar, eles aproximam o comportamento dos dados reais muito bem, e eles são robustos para misspecification. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são paramétricos e recursivos. Resumo GARCH (1, 1) é um RiskMetrics generalizado e, inversamente, o RiskMetrics é GARCH (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, devem somar a um: Dica: Tenha cuidado com o primeiro termo no GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) Equação de GARCH (1, 1): ômega () gama () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado para a variância, talvez seja necessário dividir o peso para calcular a variância média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa da volatilidade Na prática, as taxas de variância tendem a ser a média reverter, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que o modelo EWMA). Lembre-se, é a grande diferença: GARCH adiciona o parâmetro que pondera a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferido a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que está implícito se alfa beta gt 1). Neste caso, GARCH (1,1) é instável e EWMA é preferido. Explique como as estimativas GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base numa janela de observação, por ex. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): Característica fantasma: choques de volatilidade (aumentos repentinos) são abruptamente incorporados na métrica MA e, em seguida, quando a janela de arrasto passa, eles são abruptamente descartados do cálculo. Devido a isto a métrica de MA mudará em relação ao comprimento de janela escolhido As informações de tendência não são incorporadas As estimativas de GARCH melhoram estas fraquezas de duas maneiras: As observações mais recentes são atribuídas pesos maiores. Isso supera fantasmas porque um choque de volatilidade impactará imediatamente a estimativa, mas sua influência irá desaparecer gradualmente à medida que o tempo passa. Um termo é adicionado para incorporar a reversão à média. Explicar como a persistência está relacionada à reversão à média. Dada a equação de GARCH (1, 1): A persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. A persistência de 1,0 não indica reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica desintegração rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos tanto à variância retardada quanto ao retardo ao quadrado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Portanto, se P (persistência) é alta, então G (reversão de média) é baixa: a série persistente não é fortemente reverting de média que exibe 8220slow decay8221 para o significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impersistente significa fortemente reverter, exibe 8220 desvanecimento acelerado 8221 em relação à média. A média, incondicional variação no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explique como EWMA sistematicamente descontos mais antigos dados, e identificar o RiskMetrics174 diária e mensal decadência fatores. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série 8220true8221 EWMA que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído ao quadrado retorna é uma proporção constante do peso precedente. Especificamente, lambda (l) é a razão entre pesos vizinhos. Desta forma, os dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda é elevado (por exemplo, 0,99), então o desconto é muito gradual. Se lambda for baixa (por exemplo 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de deterioração do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que prever as volatilidades. Ao mensurar o risco de carteira, as correlações podem ser mais importantes do que a variabilidade individual de volatilidade do instrumento. Portanto, no que diz respeito ao risco de carteira, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões individuais de volatilidade. Use GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variância futura esperada, em (t) períodos, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno quadrado anterior (o retorno anterior era 4), beta é o peso (0,7) atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância de longo prazo. Não é 0,00008 este termo é o produto da variância e seu peso. Como o peso deve ser 0,2 (1 - 0,1 -0,7), a variância de longo prazo 0,0004. Em segundo lugar, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado acima: Agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variância esperada futuro: Esta é a taxa de variância esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 ea volatilidade de longo prazo é 2. A projeção de 10 dias para a frente 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Previsão não paramétrica da volatilidade